Fundamentos

Quais são as pressuposições para a realização da Análise de Variância?

Os erros devem seguir uma distribuição normal;
Os erros devem ser independentes;
Os erros devem apresentar variância constante, ou seja, homogeneidade de variâncias;
O modelo deve ser aditivo

Exemplo

Um pesquisador pretende comparar quatro variedades de pêssego quanto ao enraizamento de estacas. Para tanto, realizou um experimento de acordo com o delineamento inteiramente casualizado com cinco repetições, sendo cada parcela um vaso com vinte estacas. Passado o tempo necessário, o pesquisador anotou o número de estacas enraizadas, apresentado na Tabela a seguir.

Tabela 1: Número de estacas enraizadas por variedade de pêssego.

Variedades	REP. 1	REP. 2	REP. 3	REP. 4	REP. 5	Total	Média	Variância
A	2	2	1	1	0	6	1,2	0,7
B	1	0	0	1	1	3	0,6	0,3
C	12	10	14	17	11	64	12,8	7,7
D	7	9	15	8	10	49	9,8	9,7

Esse experimento seguiu um delineamento inteiramente casualuzado, portanto segue o seguinte modelo:

\[\begin{equation} y_{ij} = \mu + \tau_i + e_{ij} = \mu_i + e_{ij} \end{equation}\]

em que:

$y_{ij}$ é o valor observado na j-ésima repetição do iésimo tratamento, com:
$i = 1, ... , I$ e
$j = 1, ... , n_i$
$\mu$ é uma constante inerente a todas as observações, geralmente a média geral,
$\tau_i$ é o efeito do iésimo tratamento,
$e_{ij}$ é o erro experimental, tal que $e_{ij} \overset{iid}{\sim} N(0,\sigma^2)$.

Análise de resíduos

Para obter o valor predito do resíduo.

\[\begin{equation} y_{ij} = \mu_i + e_{ij} \end{equation}\]

\[ e_{ij} = \mu_i - y_{ij} \] Resíduos Padronizados ($z_{ij}$) e Resíduos estudentizados ($d_{ij}$)

Observações discrepantes e aparente homogeneidade/heterogeneidade de variâncias.

\[z_{ij} = \displaystyle{\frac{e_{ij}}{\sqrt{\text{QM}_{\text{Resíduo}}}}}\]

\[d_{ij} = \displaystyle{\frac{e_{ij}}{\sqrt{(1-1/J)\text{QM}_{\text{Resíduo}}}}}\]

Observações discrepantes (atípicas)

Observações discrepantes são valores que se afastam muito do esperado para a variável.

Avaliação gráfica:

Alguns possíveis gráficos:

Resíduos estudentizados (ou padronizados) versus Tratamentos
Gráfico de caixas dos resíduos estudentizados (ou padronizados)

#>    1    2    3    4    5    6    7    8    9   10   11   12   13   14   15   16 
#>  0.8  0.8 -0.2 -0.2 -1.2  0.4 -0.6 -0.6  0.4  0.4 -0.8 -2.8  1.2  4.2 -1.8 -2.8 
#>   17   18   19   20 
#> -0.8  5.2 -1.8  0.2
#>          1          2          3          4          5          6          7 
#>  0.4170288  0.4170288 -0.1042572 -0.1042572 -0.6255432  0.2085144 -0.3127716 
#>          8          9         10         11         12         13         14 
#> -0.3127716  0.2085144  0.2085144 -0.4170288 -1.4596009  0.6255432  2.1894013 
#>         15         16         17         18         19         20 
#> -0.9383149 -1.4596009 -0.4170288  2.7106874 -0.9383149  0.1042572

Observações:

95% dos resíduos devem pertencer ao intervalo (-2,2);
Valores não pertencentes ao intervalo (-3,3) podem ser classificados como discrepantes;
Não podemos excluir observações discrepantes antes de conversar com o pesquisador, pois pode ter ocorrido algum erro de tabulação ou a observação pode indicar uma característica importante associada ao respectivo tratamento;

boxplot residuos estudentizados

boxplot(res_Studpessego
)

São observados dois valores discrepantes para os resíduos, quando esperada a normalidade dos erros. Logo, não se observa 95% dos resíduos entre -2 e 2, entretanto 100% destes estão entre -3 e 3.

gráfico de pontos

Observa-se que os dois valores discrepantes estão relacionados às variedades C e D. A dispersão dos resíduos por tratamento será discutida posteriormente.

Independência dos Erros

Até certo ponto, a independência dos erros é garantida pelo princípio da casualização. Entretanto, devemos “verificá-la” nos casos em que poderiam existir correlações entre as observações;

observações no mesmo indivíduos/parcela ao longo do tempo;
observações na mesma parcela em profundidades diferentes;
observações de indivíduos agrupados, como por exemplo cobaias em uma mesma gaiola.

Homogeneidade de Variâncias

A pressuposição de homogeneidade de variâncias é a mais importante a ser atendida.

Gráficos

Resíduos estudentizados versus Tratamentos
Resíduos estudentizados versus Valores preditos (y˜ij)

Testes de hipóteses

Teste de Hartley (F máximo)
Teste de Levene

grafico pontos homogeneidade

Observa-se que as dispersões dos resíduos estudentizados associados às variedades A e B são menores do que as dispersões dos resíduos estudentizados associados às variedades C e D, aparentemente.

Gráfico dos Resíduos versus Valores Preditos

ggplot( ,
       aes(x = fitted(modelopessego),
           y = res_Studpessego)) + 
  geom_point() + 
  theme_bw () + 
  geom_hline(yintercept = 0) + 
  ylab("Resíduos estudentizados") + 
  xlab("Valores esperados (médias)")

Teste de hipóteses: Teste de Hartley

\[H0 : \text{Há homogeneidade de variâncias}\] \[Ha : \text{Não há homogeneidade de variâncias}\]

Estatística do teste: \[F\text{max} = \frac{S^2_{max}}{S^2_{min}}\]

Rejeita-se H0, ao nível 100 × α% de significância, se Fmax ≥ Fmaxtab(α,ν1,ν2), em que ν1 é o número de graus de liberdade do numerador e ν2 é o número de graus de liberdade do denominador da estatística Fmax .

Teste de hipóteses: Teste de Levene (1960)

\[H0 : \text{Há homogeneidade de variâncias}\] \[Ha : \text{Não há homogeneidade de variâncias}\] Estatística do teste:

Ajusta-se o modelo yij = µ + τi + eij = µi + eij e obtêm-se os valores preditos para os erros, ˜eij .
Realiza-se a ANOVA para |˜eij |, de acordo com o modelo |˜eij | = ν + γi + ij .
Em caso de efeito significativo de tratamentos, ao nível 100 × α% de significância, há evidências de heterogeneidade de variâncias.

anova(lm(abs(respessego) ~ Variedadepessego, dadospessego))
#> Analysis of Variance Table
#> 
#> Response: abs(respessego)
#>                  Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)  
#> Variedadepessego  3 12.864   4.288  2.8895 0.06786 .
#> Residuals        16 23.744   1.484                  
#> ---
#> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Como o valor-p = 0,06786 > 0,05 = α, considerando-se o nível de 5% de significância não rejeitamos H0. Logo, não há evidências para afirmarmos que as variâncias não são homogêneas.

Normalidade dos Erros

Assim como para a verificação da homogeneidade de variâncias, podem ser utilizados gráficos e testes para a verificação da pressuposição a respeito da normalidade dos erros.

Gráficos:

Gráfico quantil-quantil
Half normal plot (hnp) com envelope de simulação
Histograma
Gráfico de caixas

Testes de hipóteses:

Shapiro-Wilk
Kolmogorov-Smirnov
Qui-quadrado
entre outros

Gráfico quantil-quantil

qqnorm(res_Studpessego)
qqline(res_Studpessego, col=2)

Observa-se o afastamento de dois pontos da reta que passa pelos pontos (Q1esp , Q1obs ) e (Q3esp , Q3obs ). Desse modo, espera-se que os erros não sigam uma distribuição normal.

Gráfico half normal plot com envelope de simulação

Atkinson (1985) propôs a adição de um envelope simulado, a partir dos seguintes passos:

Ajuste um modelo a um conjunto de dados e obtenha d(i), valores absolutos ordenados de uma certa estatística de diagnóstico (resíduos, hii, etc.);
Simule 19 amostras da variável resposta usando as estimativas obtidas após o ajuste do modelo e os mesmos valores para as variáveis explanatórias;
Ajuste o modelo a cada uma das 19 amostras e calcule os valores absolutos ordenados da estatística de diagnóstico de interesse, d∗j(i), j = 1, . . . , 19, i = 1, . . . , n.
Para cada i, calcule a média, o mínimo e o máximo d∗j(i)
Construa um gráfico para as quantidades calculadas no item anterior e d(i) versus zi (quantil esperado).

Gráfico quantil-quantil com envelope simulado

library(hnp)
#> Carregando pacotes exigidos: MASS
hnp(modelopessego,
    print.on = TRUE)
#> Gaussian model (lm object)

É aceitável que pelo menos 95% dos pontos pertençam ao intervalo de confiança gerado. Para o exemplo, tem-se 30% destes foram do intervalo. Assim, é esperado que os erros não sigam uma distribuiçãonormal.

Teste de hipóteses: Shapiro-Wilk (1965)

\[H0 : \text{Os erros seguem uma distribuição normal}\] \[Ha : \text{Os erros não seguem uma distribuição normal}\]

\[ W = \frac{(\sum_{i=1}^n a_iy_{(i)})^2}{\sum_{i=1}^n(y_i-y)^2} \]

em que y(i) representa a i-ésima estatística de ordem e os coeficientes ai são pesos ótimos para o estimador de mínimos quadrados ponderados dos desvios-padrões para uma população normal.

shapiro.test(res_Studpessego)
#> 
#>  Shapiro-Wilk normality test
#> 
#> data:  res_Studpessego
#> W = 0.88533, p-value = 0.02209

Como o valor-p = 0,02209 < 0,05 = α, considerando-se o nível de 5% de significância, rejeitamos H0. Logo, há evidências para afirmarmos que os erros não seguem uma distribuição normal.

Transformação dos dados

Se alguma pressuposição nao for atendida é possivel realizar a transformação dos dados.

Como visto, uma alternativa para os casos em que alguma(s) das pressuposições não é(são) atendida(s) é a transformação dos dados. Vejamos, agora, possíveis casos para o gráfico dos resíduos versus os valores preditos y˜ij , como ferramenta para diagnóstico preliminar.

Tranformação Box-Cox (1964)

y*= logy se $\lambda$=0
y*= $y^\lambda$ se $\lambda$ $\neq$ 0

$\lambda$	$Transformação$
$-1$	$ 1/(y+0,5)$
$-0,5$	$1/{\sqrt{(y+0,5)}}$
$0$	$ log(y+0,5)$
$0,5$	$\sqrt{y+0,5}$
$1$	$nenhuma$

Após realizar a transformação dos dados, deve-se verificar novamente as pressuposições da análise de variância. Caso sejam atendidas, pode-se prosseguir com a análise, lembrando de realizar a transformação inversa ao final.

library(MASS)
boxcox(dadospessego$estacasenraizadas+0.5 ~ dadospessego$Variedadepessego, 
       ylab= "logaritmos da verossimilhança")

Observe que o valor 1 não pertence ao intervalo de confiança a 95% para λ, porém, o valor 0,5 pertence, sendo este o valor indicado de λ.

Análise dos dados transformados

#dadospessego$estacasenraizadast <-  (estacasenraizadas+0.5)^0.5
#modelotransformado <- lm(estacasenraizadast ~ Variedadepessego, dadospessego)

Normalidade dos erros

#qqnorm(rstandard(modelotransformado), xlab= "Quantis da distribuição normal", ylab= "Resíduos estudentizados")
#qqline(rstandard(modelotransformado), col=2)

Com os dados transformados e novo modelo ajustado, tem-se que 95% dos resíduos encontram-se entre -2 e 2 e, os pontos não apresentam grande afastamento da reta, o que indica possível normalidade dos erros.

library(hnp)
#hnp(modelotransformado, print.on = TRUE)

Com os dados transformados e novo modelo ajustado, tem-se que a maioria dos pontos pertencem ao envelope simulado, indicando possível normalidade dos erros.

#shapiro.test(rstandard(modelotransformado))

Como o valor-p = 0,8943 > 0,05 = α, considerando-se o nível de 5% de significância, não rejeitamos H0. Logo, há evidências para afirmarmos que os erros seguem uma distribuição normal.

Homogeneidade de Variâncias

#ggplot(dadospessego,
  #      aes(x = Variedadepessego,
  #          y = rstandard(modelotransformado))) + 
  # geom_point() +
  # geom_hline(yintercept = 0) +
  # theme_bw() + 
  # ylab("Resíduos estudentizados") + 
  # xlab("Variedade")

Aparentemente, as dispersões dos resíduos por tratamento são semelhantes.

# levene.test(rstandard(modelotransformado), dadospessego$Variedadepessego, location = "mean")

Como o valor-p = 0,9258 > 0,05 = α, considerando-se o nível de 5% de significância, não rejeitamos H0. Logo, há evidências para afirmarmos que há homogeneidade de variâncias dos erros.

# ggplot(dadospessego,
#        aes(x = fitted(modelotransformado),
#            y = rstandard(modelotransformado))) + 
#   geom_point() +
#   geom_hline(yintercept = 0) +
#   theme_bw () + 
#   ylab("Resíduos Estudentizados") + 
#   xlab(" Valores esperados (médias0")

Agora, aparentemente, há um leve aumento na dispersão dos resíduos conforme o valor predito aumenta.

# boxcox(modelotransformado, ylab="logaritmo da verossimilhança")

Quando utilizados os dados transformados, verifica-se que o valor 1 pertence ao intervalo de confiança para λ. Desse modo, nova transformação não é indicada.

Atendidas as pressuposiões para a realização da análise de variância, considerando-se os dados transformados, temos:

# anova(modelotransformado)

Como o valor-p = 4, 623 × 10−9 < 0, 05 = α, considerando o nível de 5% de significância, rejeitamos H0. Desse modo, há evidências para afirmarmos que pelo menos um contraste de médias difere de zero.

# library(ExpDes.pt)
# with(dadospessego,
#      dic(Variedadepessego,
#          estacasenraizadast))

Grupos	Tratamentos	Médias
a	C	3,63
a	D	3,18
b	A	1,26
b	B	1,01

A partir do teste de Tukey, ao nível de 5% de significância, há evidências para afirmarmos que as médias para as variedades C e D diferem das médias paras as variedades A e B, e as demais médias não diferem entre si.

Faça o upload da resolução e tire suas aqui

\(\lambda\)	\(Transformação\)
\(-1\)	$ 1/(y+0,5)$
\(-0,5\)	\(1/{\sqrt{(y+0,5)}}\)
\(0\)	$ log(y+0,5)$
\(0,5\)	\(\sqrt{y+0,5}\)
\(1\)	\(nenhuma\)

Pressuposições da ANOVA

Fundamentos

Exemplo

Análise de resíduos

Observações discrepantes (atípicas)

boxplot residuos estudentizados

gráfico de pontos

Independência dos Erros

Homogeneidade de Variâncias

Teste de hipóteses: Teste de Hartley

Teste de hipóteses: Teste de Levene (1960)

Normalidade dos Erros

Gráfico quantil-quantil

Gráfico quantil-quantil com envelope simulado

Teste de hipóteses: Shapiro-Wilk (1965)

Transformação dos dados

Tranformação Box-Cox (1964)

Análise dos dados transformados

Normalidade dos erros

Homogeneidade de Variâncias